Bilangan rasional adalah
bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b dimana a, b bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0. dimana batasan dari bilangan rasional adalah mulai dari selanga (-∞, ∞).
Bilangan bisa dikatakan dapat dibagi menjadi 2 sekup besar yaitu bilangan rasional dan
bilangan irasional. Bila kita mengatakan
bilangan rasional berarti di dalamnya sudah mencakub bilangan-bilangan lain seperti:
bilangan bulat,
bilangan asli,
bilangan cacah,
bilangan prima dan bilangan-bilangan lain yang menjadi subset dari bilangan rasional.
Contoh dari bilangan rasional:
- Jika a/b = c/d maka, ad = bc.




Bilangan bulat terdiri dari
bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.
Himpunan semua bilangan bulat dalam
matematika dilambangkan dengan
Z (atau

), berasal dari
Zahlen (
bahasa Jerman untuk "bilangan").
bilangan riil atau
bilangan real menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk
desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Bilangan real meliputi
bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan
bilangan irasional, seperti π dan
sqrt2. Bilangan rasional direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir, sedangkan bilangan irasional memiliki representasi desimal tidak berakhir namun berulang. Bilangan riil juga dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan
Bilangan cacah adalah himpunan
bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan
bilangan asli ditambah 0.Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif
bilangan prima adalah
bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang faktor
pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. 2 dan 3 adalah bilangan prima. 4 bukan bilangan prima karena 4 bisa dibagi 2. Sepuluh bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29.
Jika suatu bilangan yang lebih besar dari satu bukan bilangan prima, maka bilangan itu disebut
bilangan komposit. Cara paling sederhana untuk menentukan bilangan prima yang lebih kecil dari bilangan tertentu adalah dengan menggunakan
saringan Eratosthenes
Bilangan asli, Dalam
matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan
bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan
bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan
nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.
Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang, menghitung, dsb. Sifat yang lebih dalam tentang bilangan asli, termasuk kaitannya dengan
bilangan prima, dipelajari dalam
teori bilangan. Untuk matematika lanjut, bilangan asli dapat dipakai untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat
hitungan suatu himpunan.
Setiap bilangan, misalnya bilangan 1, adalah konsep abstrak yg tak bisa tertangkap oleh indera manusia, tetapi bersifat
universal. Salah satu cara memperkenalkan konsep himpunan semua bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui
aksioma Peano (sebagai ilustrasi, lihat
aritmetika Peano).
Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua
bilangan rasional bisa dibangun secara bertahap, diawali dari himpunan bilangan-bilangan asli.
Himpunan
Z tertutup di bawah operasi
penambahan dan
perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan
bilangan asli,
Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu
Z tidak tertutup di bawah pembagian.
bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk

dimana
a dan
b adalah
bilangan riil, dan
i adalah
bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat
i 2 = −1. Bilangan riil
a disebut juga
bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real
b disebut
bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai
b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real
a.
Sebagai contoh, 3 + 2
i adalah
bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2.
Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar
polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.
Dalam bidang-bidang tertentu (seperti
teknik elektro, dimana
i digunakan sebagai simbol untuk
arus listrik), bilangan kompleks ditulis
a +
bj.
Bilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat
i 2 = −1. Bilangan ini biasanya merupakan bagian dari
bilangan kompleks. Selain bagian imajiner, bilangan kompleks mempunyai bagian
bilangan riil. Secara definisi, (bagian) bilangan imajiner
i ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik:

atau secara ekivalen

atau juga sering dituliskan sebagai
.
Bilangan imajiner dan/atau bilangan kompleks ini sering dipakai di bidang
teknik elektro dan elektronika untuk menggambarkan sifat arus AC (
listrik arus bolak-balik) atau untuk menganalisa gelombang
fisika yang menjalar ke arah sumbu x mengikuti:
), dengan j = −i.
Bilangan irasional adalah
bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai
bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan
bilangan rasional. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional ini adalah bilangan π,

, dan bilangan e.
Bilangan π sebetulnya tidak tepat, yaitu kurang lebih 3.14, tetapi
- = 3,1415926535.... atau
- = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...
Untuk bilangan

:
- = 1,4142135623730950488016887242096.... atau
- = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798..
dan untuk bilangan e:
- = 2,7182818....
Eksponen adalah
perkalian yang diulang-ulang. Orang menulis eksponen dengan indeks di atas, yang akan terlihat sebagai berikut:
xy. Terkadang hal itu tak mungkin. Kemudian orang menulis eksponen menggunakan tanda
^:
2^3 berarti
23.
Bilangan
x disebut
bilangan pokok, dan bilangan
y disebut
eksponen. Sebagai contoh, pada
23, 2 adalah bilangan pokok dan 3 eksponen.
Untuk menghitung
23 seseorang harus mengalikan 3 kali terhadap angka 2. Sehingga

. Hasilnya adalah

. Apa yang dikatakan persamaan bisa juga dikatakan dengan cara ini: 2 pangkat 3 sama dengan 8.
Contoh:


- 1x = 1 untuk setiap bilangan x
Jika eksponen sama dengan 2, maka disebut
persegi karena
area persegi dihitung menggunakan
a2. Sehingga
- x2 adalah persegi dari x
Jika eksponen sama dengan 3, maka disebut
kubik karena
volume kubus dihitung dengan
a3. Sehingga
- x3 adalah kubik x
Jika eksponen sama dengan -1 orang harus menghitung
inversi bilangan pokok. Sehingga:

Jika eksponen adalah
integral dan kurang dari 0, orang harus membalik bilangan dan menghitung pangkat. Sebagai contoh:

Jika eksponen sama dengan

hasilnya adalah
akar persegi bilangan pokok. Sehingga

Contoh:

Dengan cara yang sama, jika eksponen

hasilnya adalah
akar ke-n, sehingga:
![a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vTHO35RyhzokUdw1VanbCGbHlDLUaCeIjaDotyH7SCoBioJJQkyy_CZbDIc7XL39RUOxbNMm_OILzgUDlcOl-ClHiTfpmM2xQZSAy8JB-HY6zXn2RAXbXnFCp3oI_41jHJyHERHYbj-OBSZoa_6g=s0-d)
Jika eksponen merupakan
bilangan rasional 
, hasilnya adalah akar ke-
q bilangan pokok yang dipangkatkan
p, sehingga:
![a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v_6TFQeuKfOI96IyEeXiaMHMmKOVGldJCjaQRhRGixtFTaSdaUr9qv1xNpK87uwEbDuZG4qN4jCEzsvL7gKz-IRhpYzp-QkmFTDSuBJ8v6JrYw_f3u_1Z_ZtKxvvwMFGE93gQhRH76wvChn1oThQ=s0-d)
Eksponen bisa juga tak rasional. Untuk menjadikan bilangan pokok
a menjadi pangkat ke-
x yang tak rasional, kita menggunakan rangkaian
ketidakterhinggaan bilangan rasional (
xi), yang
limitnya adalah x:

seperti ini:

Ada beberapa aturan yang membantu menghitung pangkat:






: Bila bilangan pokok lebih besar daripada 1 dan eksponen 0, jawabannya 1. Jika bilangan pokok dan pangkat sama dengan 0, jawabannya tak terdefinisikan.
Ekponen
matriks bisa pula dihitung. Matriks itu harus persegi. Sebagai contoh:

.
Sumber: wikipedia